当家庭厨房中的新油烟机电机出现不启动的问题时，首先需要确定问题出现的原因。以下是可能出现的几种原因及对应的解决方法：

1. 供电不正常。检查插头和插座的连接是否松动，是否有电源输出，若没有电源输出则需要检查是否跳闸或线路是否短路。

2. 开关损坏。检查油烟机上的开关是否损坏或松动，如果是开关的问题需要更换开关。

3. 电机损坏。电机损坏是导致油烟机不启动的最常见原因之一，需要检查电机的绕组是否烧毁或电机转子是否卡死，需要更换电机。

4. 风轮卡死。如果风轮卡死则会导致电机无法正常运转，需要检查风轮是否卡死或阻塞，如果卡死则需要拆下风轮清洗或更换。

5. 风机脏堵。当油烟机长期使用，灰尘和油污会累积在风机内部，导致风机转速变慢或不转。需要拆下风机清理或更换风机。

在进行维修或更换时，一定要注意安全，切勿在电器未断电或电源接通的情况下进行操作。如无专业修理技巧，建议请专业维修人员进行检修和维护。